Конечные поля и их приложения. 2 Бпми 3 семестр Примерный перечень

ч. 1


Конечные поля и их приложения. 2 БПМИ 3 семестр
Примерный перечень вопросов к зачету


  1. Группа: основные понятия и определения. Мультипликативная и аддитивная группы. Циклическая группа.

  2. Подгруппа. Нормальная подгруппа. Теорема о нормальной подгруппе.

  3. Теорема о порядке конечной группы.

  4. Теорема о циклических группах.

  5. Гомоморфизмы группы. Теорема о гомоморфизме групп.

  6. Понятие кольца и простейшие примеры колец. Основные понятия и определения.

  7. Понятие поля. Простейшие примеры.

  8. Идеалы кольца. Кольцо главных идеалов.

  9. Понятия подкольца и подполя.

  10. Гомоморфизмы колец. Теорема о гомоморфизме колец.

  11. Характеристика кольца и поля. Конечное поле и его характеристика.

  12. Понятие многочлена (полинома). Сумма и произведение многочленов.

  13. Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком.

  14. Взаимно простые многочлены. Алгоритм Евклида.

  15. Неприводимые многочлены. Корни многочлена.

  16. Интерполяционная формула Лагранжа.

  17. Симметрические многочлены: основные понятия и определения.

  18. Формулы Ньютона и Варинга.

  19. Расширение поля. Собственное подполе.

  20. Простое поле. Простое подполе.

  21. Алгебраическое расширение поля.

  22. Алгебраический элемент над полем, его степень и минимальный многочлен.

  23. Теорема о конечных расширениях поля.

  24. Теорема о существовании и единственности поля разложения.

  25. Дискриминат многочлена. Результатнт двух многочленов.

  26. Число элементов конечного поля. Построение конечных полей с помощью присоединения корня.

  27. Теорема о существовании и единственности конечных полей.

  28. Критерий подполя. Понятие примитивного элемента.

  29. Множество корней неприводимого многочлена над конечным полем.

  30. Понятие сопряженного элемента. Порядок сопряженного элемента.

  31. Связь между сопряженными элементами и автоморфизмами конечного поля.

  32. Корень n-ой степени из единицы над полем. Первообразный корень из единицы.

  33. N-круговой (n-цикломатический) многочлен над полем.

  34. Свойства круговых полей.

  35. Связь между круговыми и конечными полями.

  36. Способы представления элементов конечного поля.

  37. Таблица индексов. Сопровождающая матрица.

  38. Понятие порядка (периода, экспоненты) многочлена. Характеризация порядка неприводимого многочлена.

  39. Мультипликативный порядок числа по модулю n. Формула для порядка многочлена.

  40. Способ определения порядка многочлена.

  41. Возвратный (двойственный) многочлен. Взаимосвязь между порядками многочленов .

  42. Понятие примитивного многочлена, их характеризация.

  43. Неприводимые над полем многочлены, их простейшие свойства.

  44. Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса и ее применение для получения n-кругового многочлена.

  45. Произведение всех нормированных неприводимых многочленов данной степени. Нахождение нормированных неприводимых многочленов степени n.

  46. Минимальные многочлены в конечных полях.

  47. Получение новых неприводимых многочленов на основе известных.

  48. Прямо метод нахождения минимальных многочленов.

  49. Нахождение примитивных многочленов.

  50. Понятие q-многочлена над полем . Линеаризованный многочлен. Особенность множества корней линеаризованного многочлена.

  51. Метод нахождения корней линеаризованных многочленов. Определение аффинного q-многочлена над полем .

  52. Метод нахождения корней произвольного многочлена с помощью аффинных многочленов.

  53. Символическое умножение. Q-ассоциированные многочлены. Связь между неприводимыми многочленами и неприводимыми делителями линеаризованных q-ассоциированных с ними многочленов.

  54. Характеризация символически неприводимых многочленов.

  55. Понятие двучлена (бинома). Нормированные нелинейные двучлены.

  56. Понятие трехчлена, их приводимость.

ч. 1